# Relationen

Eine Relation R auf einer Menge M ist eine (echte oder unechte) Teilmenge des kartesischen Produktes M x M.

Relationen können bestimmte Eigenschaften haben. Eine Relation heißt ..

- ... reflexiv, wenn für alle x aus M gilt: (x,x) ist in R.
- ... irreflexiv, wenn für alle x aus M gilt: (x,x) ist nicht in R.
- ... symmetrisch, wenn für alle x,y aus M gilt: Aus (x,y) ist in R folgt (y,x) ist in R.
- ... asymmetrisch, wenn für alle x,y aus M gilt: Aus (x,y) ist in R folgt (y,x) ist nicht in R.
- ... antisymmetrisch, wenn für alle x,y aus M gilt: Aus (x,y) ist in R und (y,x) ist in R folgt x = y.
- ... alternativ, wenn für alle x,y aus M gilt: (x,y) ist in R oder (y,x) ist in R.
- ... transitiv, wenn für alle x,y,z aus M gilt: Aus (x,y) ist in R und (y,z) ist in R folgt (x,z) ist in R.

Eine Äquivalenzrelation liegt vor, wenn die Relation

- reflexiv,
- symmetrisch
- und transitiv

ist.

Eine reflexive Ordnungsrelation ist

- reflexiv,
- antisymmetrisch
- und transitiv.

Eine irreflexive Ordnungsrelation ist

- irreflexiv,
- asymmetrisch
- und transitiv.

Eine lineare Ordnungsrelation ist zusätzlich alternativ.

8.1.1996