Frage 1
Auf {a,b,c} seien die Relationen R1 = {(a,a), (b,b), (c,c), (c,a)}, R2 = {(a,b), (a,c), (b,c)}, R3 = {(a,a), (a,b), (b,a), (a,c)} gegeben. Man kreuze die jeweils gültigen Eigenschaften an:
| R1 | R2 | R3
reflexiv |  |  |
symmetrisch |  |  |
transitiv |  |  |
antisymmetrisch |  |  |
Ankreuzen, dann zur Kontrolle oder zur nächsten Frage

Frage 2
Die Menge {(b,c), (d,c)} soll zu einer Äquivalenzrelation mit möglichst wenigen Elementen ergänzt werden (über die Grundmenge ist nichts näheres bekannt). Aus wievielen Elementen muss diese Relation bestehen?
Erst die richtige Zahl angeben:
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Frage 3
Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es auf der Menge A = { a,b,c} ?
Erst die richtige Zahl angeben:
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Frage 4
Wahr oder Falsch? Auf { a,b,c } gibt es mehr Ordnungs- als Äquivalenzrelationen
Erst ein Kreuz machen: Wahr Falsch
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Frage 5:
Eine Frage speziell zur Symmetrie und Antisymmetrie: Welche der folgenden Behauptungen treffen zu? a) Jede Relation erfüllt genau eine dieser beiden Bedingungen b) Jede Relation kann höchstens eine der beiden Bedingungen erfüllen c) Jede Relation erfüllt mindestens eine der beiden Bedingungen d) Bei a), b) oder c) darf kein Kreuz gemacht werden
Erst ankreuzen: a): b): c): d):
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Frage 6
In dieser Frage sei Z die Menge der ganzen Zahlen. Warum ist die auf Z ×Z definierte Relation (a,b) ~ (c,d) : <===> a = c reflexiv? a) Weil a = a für jede ganze Zahl gilt b) Weil für jede ganze Zahl (a,a) zur Relation gehört c) Weil alle Zahlenpaare (a,b) zu sich selbst in Relation stehen d) Diese Relation ist nicht reflexiv
Erst ankreuzen: a): b): c): d):
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Frage 7
Auch in dieser Frage sei Z die Menge der ganzen Zahlen. Wir untersuchen die auf Z ×Z definierte Relation (r,s) ~ (t,u) : <===> r+s = t+u Bitte die richtigen Eigenschaften ankreuzen: Die Relation ist a) reflexiv b) symmetrisch c) transitiv d) antisymmetrisch
Erst ankreuzen: a): b): c): d):
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Frage 8
Die Menge der reellen Zahlen IR ist unterteilt in die Menge der negativen Zahlen IR -, die Menge der positiven Zahlen IR + und die Menge {0} = O. Auf IR sei folgende Relation R erklärt: a ~ b : <===> a und b gehören zur gleichen Teilmenge IR + bzw. IR - bzw. O. Was gilt? a) R ist eine Äquivalenzrelation b) R ist eine Ordnungsrelation c) R ist weder das eine noch das andere
Erst ankreuzen: a): b): c):
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Frage 9
In dieser Frage sei IN die Menge der natürlichen Zahlen. Wir untersuchen die auf IN definierte Relation R a ~ b : <===> a +3b ist ein Vielfaches von 4 Beispielsweise ist 3~7, denn 3+3·7 = 6·4 Welche der folgenden Behauptungen zur Symmetrie stimmen? a) R ist symmetrisch, weil a +3b = 3b +a ist b) R ist symmetrisch, weil b +3a ein Vielfaches von 4 ist, wenn a +3b ein Vielfaches von 4 ist c) R ist nicht symmetrisch
Erst ankreuzen: a): b): c):
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Frage 10
Die Relation R aus Frage 9 a ~ b : <===> a + 3 b ist ein Vielfaches von 4 ist eine Äquivalenzrelation. (Der Nachweis von reflexiv und transitiv ist einfach und sei als Übung empfohlen!) Aus wievielen Klassen besteht die zugehörige Partition? (Entweder die richtige endliche Zahl oder u für unendlich eintragen)
Erst eintragen:
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Antwort zur Frage 1: Hier gehören die Kreuze hin:
| R1 | R2 | R3
reflexiv | × |  |
symmetrisch |  |  |
transitiv | × | × |
antisymmetrisch | × | × |
R1 nicht symmetrisch, da (a,c) fehlt. Da für alle (x,y) aus R1 mit verschiedenen x und y (y,x) nicht in R1: antisymmetrisch. R2 ähnlich wie R1. Transitivität ist nur für (a,b) und (b,c) interessant (und erfüllt) R3: (b,b) fehlt: nicht reflexiv, nicht transitiv. (c,a) fehlt: nicht symmetrisch. (a,b) und (b,a) vorhanden: nicht antisymmetrisch.
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Antwort zur Frage 5: Das Kreuz gehört zu d):
Wir zeigen mit zwei Gegenbeispielen, dass a) und b) bzw. c) falsch sind: Die Relation {( a,a)} ist symmetrisch und antisymmetrisch. Die Relation {( a,b),( a,c), (c,a)} ist weder symmetrisch noch antisymmetrisch (siehe auch Frage 1).
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Antwort zur Frage 2: Richtig ist die Zahl 9:
Da in der gegebenen Menge b,c,d vorkommen, müssen zu der Äquivalenzrelation wegen der Reflexivität (b,b), (c,c), (d,d) gehören. Aus Symmetriegründen müssen (c,b) und (c,d) dazukommen, wegen der Transitivität fehlen dann noch (b,d) und (d,b). Damit ist die kleinste Relation mit den gesuchten Eigenschaften {b,c,d} × {b,c,d}, sie hat 9 Elemente.
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Antwort zur Frage 9 Richtig ist b):
Symmetrie bedeutet für eine Relation a ~ b ==> b ~ a . Es ist daher zu prüfen, ob unter der Voraussetzung a +3b ist ein Vielfaches von 4 auch gilt b +3a ist ein Vielfaches von 4. Dies ist richtig: 3a + b = 3a +9b - 8b = 3· n · 4 - 8b = ( 3n - 2b) · 4 . Damit ist b) richtig. zu a): Die Behauptung a +3b = 3b + a ist zweifelsfrei richtig, hilft aber nicht weiter. zu c): ist falsch.
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Antwort zur Frage 4: Wahr:
Wir beziehen uns auf die Bezeichnungen von der letzten Frage. Die Gleichheitsrelation R1= {(a,a), (b,b),(c,c)} ist Ordnungs- und Äquivalenzrelation. Aus jeder der Äquivalenzrelationen R3, R4, R5 kann man je zwei Ordnungsrelationen erhalten: R3 = {(a,a), (b,b),(c,c), (a,b), (b,a)} enthält die Ordnungsrelationen R31 = {(a,a), (b,b),(c,c), (a,b)} und R32 = {(a,a), (b,b),(c,c), (b,a)} , usw. Damit kennen wir bereits sieben Ordnungsrelationen (es existieren noch weitere), es gibt aber nur fünf Äquivalenzrelationen.
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Antwort zur Frage 8: Kreuz bei a):
Es geht um den Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen und Partitionen (Klasseneinteilungen). (Was ist eine Partition? - hier anklicken, dann gibt es eine kleine Erinnerung) Die Mengen der negativen reellen Zahlen IR -, die Menge der positiven Zahlen IR + und die Menge {0} = O bilden eine Partition von IR. Zu jeder Partition gehört eine Äquivalenzrelationen (und umgekehrt). Die in dieser Frage angegebene Relation ist genau die Äquivalenzrelation, die zu dieser Partition passt. b) und c) sind falsch, wir geben noch ein Gegenbeispiel zur Antisymmetrie: (1,2) ~ (2,1) und (2,1) ~ (1,2).
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Antwort zur Frage 7: Kreuze bei a), b) und c):
a) reflexiv ist erfüllt: (r,s) ~ (r,s) stets, denn es gilt immer r + s = r + s b) symmetrisch ist erfüllt: (r,s) ~ (t,u) ===> r + s = t + u ===> t + u = r + s ===> (t,u) ~ (r,s) c) transitiv ist erfüllt: (r,s) ~ (t,u) ===> r + s = t + u , (t,u) ~ (v,w) ===> t + u = v + w . Weiter folgt r + s = v + w und damit (r,s) ~ (v,w). d) antisymmetrisch ist nicht erfüllt, ein Gegenbeispiel: (1,4) ~ (3,2), aber auch (3,2) ~ (1,4).
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Antwort zur Frage 10: Gesuchte Zahl ist 4:
Für die gegebene Relation gilt a ~ b <===> a+ 3 b = n·4 <===> a - b = n·4 - 4 b = (n - b)·4 <===> a und b haben beim Teilen durch 4 den gleichen Rest Die gesuchten Klassen sind daher { 0, 4, 8, 12, ... } , { 1, 5, 9, 13, ... }, { 2, 6, 10, 14, ... } , { 3, 7, 11, 15, ... }.
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Antwort zur Frage 6: Zwei Kreuze bei a) und c):
Reflexiv bedeutet, dass jedes Element der Grundmenge (hier Z × Z ) in Relation zu sich selbst steht. Es ist also zu prüfen, ob ( a,b ) ~ ( a,b ) für alle Paare ( a,b ) aus Z × Z gilt Nach der Definition dieser Relation [ ( a,b ) ~ ( c,d ) <==> a = c ] ist sie reflexiv, denn für jedes Zahlenpaar ( a,b ) gilt a = a , also ist ( a,b )~ ( a,b ). Zu den einzelnen Behauptungen: a): richtig: Dies ist in Kurzform der Grund, weshalb jedes Zahlenpaar zu sich selbst in Relation steht (hoffentlich nicht aus anderem Grund angekreuzt) b): falsch in mindestens zweifacher Hinsicht: Zur Relation gehören Zahlenpaare, außerdem müssen auch Paare mit verschiedenen Zahlen untersucht werden. c): richtig: Hier steht die vollständige Begründung d): falsch (ohne Kommentar)
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Antwort zur Frage 3: Korrekt ist die Zahl 5:
Außer den "trivialen" Relationen R1 ={(a,a), (b,b), (c,c)} und R2 = A × A gibt es noch R3 ={(a,a), (b,b), (c,c), (a,b), (b,a)}, R4 ={(a,a), (b,b), (c,c), (a,c), (c,a)}, R5 ={(a,a), (b,b), (c,c), (b,c), (c,b)}
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Erzielt |  | Punkte von maximal
Umgerechnet |  | Prozent
Dies ist |
----- |  |
Benötigte Zeit |  | Sekunden
Damit werden |  | Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt |  |
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Zur Erinnerung: Sei M eine beliebige Menge, die Mengen Ki seien nichtleere Teilmengen von M. Es gelte
Der Durchschnitt verschiedener Mengen Ki und Kj sei leer
Die Vereinigung aller Ki sei die Menge M
Dann bilden die Mengen Ki eine Partition oder Klasseneinteilung von M.

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H. J. Samaga, 20.06.00 / 07.05.01. / 10.07.01.