Frage 1
Was ist eine Relation? a) Die Potenzmenge des kartesischen Produkts A × B, wobei A und B beliebige Mengen sind b) Jede zweielementige Teilmenge der Potenzmenge einer Menge c) Jede Teilmenge des kartesischen Produkts A × B, wobei A und B beliebige Mengen sind d) Nichts von a) bis c)
Erst ankreuzen: a) b) c) d)
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Frage 2
Wahr oder falsch ? Jede Ordnungsrelation ist transitiv
Erst ankreuzen: Wahr Falsch
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Frage 3
Jetzt geht es um Äquivalenzrelationen (ÄR) und Ordnungsrelationen (OR) auf einer Menge A . Man kreuze die jeweils gültigen Eigenschaften an ( a und b seien verschieden):
| ÄR | OR
Wenn (a,b) zur Relation gehört, dann auch (b,a) |  |
Wenn (a,b) und (b,c) zur Relation gehören, dann auch (a,c) |  |
Es gibt kein a aus A, für das (a,a) zur Relation gehört |  |
Wenn (a,b) zur Relation gehört, dann gehört (b,a) nicht zur Relation |  |
Für jedes a aus A gehört (a,a) zur Relation |  |
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Frage 4
Wenn in einer Relation auf A = { a,b,c } jedes Element zu jedem anderen in Relation steht, handelt es sich um eine a) Äquivalenzrelation b) Ordnungsrelation c) Weder a) noch b)
Erst die Kreuzchen machen: a) b) c)
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Frage 5:
Wieviele Relationen gibt es insgesamt auf { a,b,c,d,e } ? a) Weniger als 1000 b) Zwischen 1000 und 500000 c) Zwischen 500001 und 10000000 d) Mehr als 10000000
Erst ankreuzen: a): b): c): d):
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Frage 6
Wieviele Äquivalenzrelationen gibt es insgesamt auf { a,b } ?
Bitte erst die Anzahl eingeben:
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Frage 7
Wahr oder falsch ? {(a,a), (b,b), (a,b), (a,c), (b,c) } ist eine Ordnungsrelation auf A = { a,b,c }.
Erst ankreuzen: Wahr Falsch:
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Frage 8
Wahr oder falsch? Wenn (a,b) und (a,c) zu einer Äquivalenzrelation gehören, dann auch (b,c).
Erst ankreuzen: Wahr Falsch:
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Frage 9
Bei dieser Frage wollen wir uns gleichzeitig an eine andere Darstellung von Relationen gewöhnen. Auf der Menge der ganzen Zahlen sei a ~ b : <===> a + b ist eine gerade Zahl ( also R = { ( a,b ) | a + b gerade } ). Diese Relation ist a) reflexiv b) symmetrisch c) transitiv d) antisymmetrisch
Erst ankreuzen: a): b): c): d):
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Frage 10
Auf der Menge der ganzen Zahlen sei a ~ b : <===> b = a oder b = 2a. (Beispiel: 2 ~ 2 oder 4 ~ 8, aber nicht 2 ~ 8. Diese Relation ist a) reflexiv b) symmetrisch c) transitiv d) antisymmetrisch
Erst ankreuzen: a): b): c): d):
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Antwort zur Frage 1: c) ist korrekt:
Was ist eine Relation? Wir haben gelernt: Jede Teilmenge des kartesichen Produkts A × B , wobei A und B beliebige Mengen sind, ist eine Relation. Dies war Behauptung c). Die Fantasieprodukte a) und b) sollte man in diesem Zusammenhang ganz schnell vergessen.
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Antwort zur Frage 5: Das Kreuz gehört zu d):
Da A fünf Elemente besitzt, besteht A × A aus 5 · 5 = 25 Elementen und die Potenzmenge hiervon aus 225 Elementen. Eine grobe Abschätzung liefert uns 225 = 25 · 220 > 10 · 210 · 210 > 10000 · 1000 = 10000000. d) ist richtig, alle anderen Vorschläge sind viel zu klein.
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Antwort zur Frage 2: Richtig : Wahr
Als speziellen Eigenschaften für Relationen haben wir die Begriffe reflexiv, symmetrisch, antisymmetrisch und transitiv kennengelernt und uns (hoffentlich) gemerkt: Ordnungsrelationen sind reflexiv, antisymmetrisch und transitiv Gewissensfrage: Was heißt transitiv?
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Antwort zur Frage 9 Richtig ist a), b), c):
a): Die Relation ist reflexiv , denn für jede ganze Zahl a ist a + a gerade. b): Die Relation ist symmetrisch , dies folgt aus der Kommutativität der Addition: a ~ b <===> a + b gerade <===> b + a gerade <===> b ~ a . c): Die Relation ist transitiv : Sei a ~ b und b ~ c , also a + b und b + c jeweils gerade. Wir untersuchen die beiden verschiedenen Möglichkeiten: a gerade: Wegen der Voraussetzung a + b gerade ist dann auch b gerade, zusammen mit b + c gerade folgt nacheinander c gerade und a + c gerade, also a ~ c . a ungerade: Wegen der Voraussetzung a + b gerade ist dann auch b ungerade, zusammen mit b + c gerade folgt nacheinander c ungerade und a + c gerade, also auch hier a ~ c . d): Die Relation ist nicht antisymmetrisch, Gegenbeispiel: 1~3 und 3~1
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Antwort zur Frage 4:
Da bei dieser Relation alle Elemente zueinander in Relation stehen, sind die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation (reflexiv, symmetrisch, transitiv) auf jeden Falll erfüllt. Es liegt aber keine Ordnungsrelation vor, sonst dürften nicht gleichzeitig (a,b) und (b,a) zur Relation gehören. Damit ist a) richtig und b) und c) sind falsch.
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Antwort zur Frage 8: Kreuz bei Wahr:
Wegen der vorausgesetzten Symmetrie (Äquivalenzrelation!) gehört mit (a,b) auch (b,a) zur Relation. Aus der Transitivität, angewandt auf (b,a) und (a,c), folgt (b,c) in der Relation. Zusatzfrage (ohne Punkte, ohne Lösung): Wenn (a,b) und (a,c) zu einer Ordnungsrelation gehören, was ist dann mit (b,c) ?
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Antwort zur Frage 7: Falsch:
Ordnungsrelationen sind reflexiv. Da (c,c) fehlt, liegt keine Ordnungsrelation vor.
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Antwort zur Frage 10: Kreuze bei a) und d):
a): Nach Definition gilt a ~ a für jede ganze Zahl, also reflexiv. b): Gegenbeispiel: 1 ~ 2, aber nicht 2 ~ 1, damit nicht symmetrisch. c): Gegenbeispiel: 1 ~ 2, und 2 ~ 4, aber nicht 1 ~ 4, damit nicht transitiv. d): Die Antisymmetrie ist erfüllt, kurzer Beweis: Sei für verschiedene Zahlen a, b a ~ b . Dies bedeutet b = 2a. Wäre auch b ~ a , müsste gleichzeitig a = 2b gelten, also b = 2a = 4b, woraus der Widerspruch a = b = 0 folgt.
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Antwort zur Frage 6: Es gibt nur 2:
Wir halten zuerst fest, dass A × A die Menge { ( a,a ), ( a,b ), ( b,a ), ( b,b )} ist. Wegen der verlangten Reflexivität gehören ( a,a ) und ( b,b ) zu jeder Äquivalenzrelation. Eine haben wir damit auch schon gefunden, nämlich {( a,a ), ( b,b )}. Zu jeder anderen Äquivalenzrelation müssen weitere Elemente hinzukommen. Viel Auswahl haben wir nicht: Fügen wir ( a,b ) hinzu, liegt wegen der Symmetrie auch ( b,a ) in der Relation, und umgekehrt. Die zweite mögliche Äquivalenzrelation ist daher A × A selbst.
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Antwort zur Frage 3: Hier gehören die Kreuze hin:
| ÄR | OR
Die Symmetrie gilt in Äquivalenz-, aber nicht in Ordnungsrelationen | × |
Die Transitivität ist in beiden Relationen erfüllt | × | ×
Eine Art Antireflexivität, in beiden Relationen falsch |  |
Die hier beschriebene Antisymmetrie gilt nur in Ordnungsrelationen |  | ×
Beide Relationen sind reflexiv | × | ×
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Erzielt |  | Punkte von maximal
Umgerechnet |  | Prozent
Dies ist |
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Benötigte Zeit |  | Sekunden
Damit werden |  | Prozent angerechnet
Damit ist die Leistung insgesamt |  |
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H. J. Samaga, 14.06.00 / 04.05.01 / 10.07.01