# Relationen

Mengen III | Inhalt | Spezielle Relationen | Index

Eine (n-stellige) Relation R zwischen Mengen M1,...,M n ist eine Teilmenge des Kartesischen Produkts M1 ×× M n. Wir spezialisieren sofort auf n = 2 (zweistellige Relationen) und schreiben R(a,b) oder aRb wenn < a,b > R. Beispiel: Sei T die Menge aller Tierarten, F die Menge aller Fortbewegungsarten (schwimmen, fliegen, tauchen, ...). Dann ist eine mögliche Relation zwischen T (dem Argument- oder Definitionsbereich) von R und F (dem Wertebereich). Im Beispiel hat ”Schwan“ mehrere Bilder und und ”fliegt“ mehrere Urbilder. In diesem Sinn ist die Relation eine Verallgemeinerung des Funktionsbegriffs. Die inverse Relation R-1 entsteht durch Vertauschung von Definitions- und Wertebereich und der Tupelelemente: Das Komplement einer Relation R zwischen M und N ist (M × N) \ R. | Beispiel: M = {1,2,3}, R M × M. Relation “ist kleiner als”ist R = {< 1,2 >,< 1,3 >,< 2,3 >}. R ist dann ”ist nicht kleiner als“ oder ”ist größer oder gleich“, R-1 ”ist größer als“. ### Vokabeln Sei R M × M. Wir reden jetzt also von Relationen zwischen Elementen ein und derselben Menge R heißt reflexiv: x M :< x,x > R. irreflexiv: x M :< x,x > R. symmetrisch: Mit < x,y > R gilt auch < y, x > R. asymmetrisch: Mit < x,y > R gilt auch < y,x > R. (dies ist zu unterscheiden von ”nicht symmetrisch“; für nicht symmetrische Relationen impliziert < x,y > R nichts.) antisymmetrisch: < y,x > R und < x, y > R impliziert x = y(Das muss nicht so sein: {< a,b >,< b,a >} ist eine völlig legale Relation, aber a b.) transitiv: < x,y > R und < y,z > R impliziert < x,z > R. intransitiv: < x,y > R und < y, z > R impliziert < x,z > R (die Begriffsbildung ist parallel zu reflexiv und asymmetrisch: Die einfache Verneinung wäre der Wegfall der Implikation, die Begriffe hier aber drehen den Schluss um). konnex: x, y M :< x,y > R < y,x > R. Beispielsweise ist die Relation “=”reflexiv, symmetrisch und transitiv, die Relation “<”irreflexiv, asymmetrisch, transitiv und konnex, die Relation “<”reflexiv, asymmetrisch, antisymmetrisch, transitiv und konnex.

Markus Demleitner